بسم الله الرحمن الرحيم

جلسه سوم

مثلثاث کروي

يکي از قديمي ترين شاخه هاي دانش ستاره شناسي, نجوم کروي است. با عنايت به اينکه گفتيم براي حل بسياري از مسايل ستاره شناسي, مي توانيم تمام اجرام سماوي را روي يک کره فرضي بنام کره سماوي در نظر بگيريم, اهميت نجوم کروي در محاسبات, روشن تر مي شود. سابقه اين رشته به 4000 سال پيش باز مي گردد ولي هنوز در بسياري از موارد نقش کليدي را ايفا مي کند.

دايره عظيمه

روي سطح يک کره مي توان دواير فرضي متعددي را در نظر گرفت. اين دواير به صورت نامحدود و با اندازه هاي مختلف قابل تصورند. به آن دسته از دوايري که مرکز آنها منطبق بر مرکز کره باشد, دايره عظيمه گفته مي شود. پر واضح است از آنجا که شعاع دايره عظيمه مساوي شعاع کره است, محيط اين دايره از تمام دواير فرضي ديگر بزرگتر است و از اينرو نام آن را دايره عظيمه گذاشته اند.
کوتاه ترين فاصله بين دو نقطه واقع بر روي يک کره, قوس دايره عظيمه اي است که از آن دو نقطه عبور مي نمايد. اين اصل هندسه کروي متناظر اصلي است که در هندسه مسطح براي کوتاهترين فاصله بين دو نقطه داريم, يعني: کوتاهترين فاصله بين دو نقطه خط راستي است که از آن دو نقطه عبور مي نمايد. با توجه به اين اصل در هندسه کروي, ديد محاسباتي ما در بسياري از مسايل مبتلي به عوض مي شود. يکي از مهمترين موارد استفاده از اين اصل, محاسبه جهت قبله است. که در ادامه توضيح بيشتري در باره آن خواهيم داد.

مثلث کروي

مثلث کروي مثلثي روي سطح کره است که هريک از اضلاع آن دواير عظيمه باشند. اين مثلث از سه زاويه تشکيل مي شود که معمولا با حروف بزرگ انگليسي نمايش داده مي شوند, مثلا مي گوييم زواياي : A و B و C و داراي سه ضلع است که هرکدام وترهايي از دواير عظيمه هستند که معمولا با حروف کوچک انگليسي نمايش داده مي شوند, مثلا: a و b و c .
مثلث کروي داراي خواصي متفاوت با مثلث مسطح است. از جمله:
  • مجموع سه زاوي يک مثلث کروي از 180 درجه بيشتر و از 270 درجه کمتر است.
  • اگر مجموع دو ضلع يک مثلث کروي برابر 180 درجه باشد, مجموع زواياي روبروي آنها نيز برابر 180 درجه خواهد بود.
    در هر مثلث کروي اگر از مجموع شش ضلع و زاويه, سه عنصر معلوم باشد, مي توانيم بقيه عناصر را نيز محاسبه نماييم. رياضيدانان روابط زيادي بين عناصر يک مثلث کروي به اثبات رسانده اند که در صورت تمايل مي توانيد براي شرح اين روابط و طريقه اثبات آنها و مثال هاي متنوع در حل مثلث کروي, به منابع مفصل نجومي1 مراجعه نماييد. در اينجا به ذکر دو رابطه زير بسنده مي کنيم:

      1- رابطه کسينوس:
    cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A  

    2- فرمول هاي محاسبه نصف مجموع و يا تفاضل دو زاويه:
     
    tan (A+B)/2 = cos (a-b)/2 cot C/2

    cos (a+b)/2


    tan (A-B)/2 =  sin (a-b)/2 cot C/2

    sin (a+b)/2
     

    براي سهولت درک روابط بالا يک مثال براي هريک از آنها مي زنيم:
    در شامگاه روز جمعه 17 ديماه 1378 مطابق با 29 رمضان 1420 , طبق استخراج برنامه نجوم اسلامي, بهنگام غروب آفتاب, تفاوت ارتفاع ماه و خورشيد 92/6 درجه و اختلاف سمت آنها معادل 83/3 درجه است. فاصله ماه و خورشيد از ديد ناظر زميني چند درجه است؟
    در مثلث کروي که يک ضلع آن ارتفاع ماه و ضلع ديگر آن اختلاف سمت ماه و خورشيد است, ضلع سوم نشان دهنده فاصله زاويه اي ماه و خورشيد از ديد ناظر زميني است. چون ضلع ارتفاع بر دايره افق عمود است, داريم : 90A = , با استفاده از فرمول کسينوس داريم:
     

    cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

    cos a = cos 92/6 cos 83/3 + sin 92/6 sin 83/3 cos 90 = cos 92/6 cos 83/3 = 9904/0

    a = 90/7?

    کاربرد مثلثات کروي در قبله يابي

    يکي از موارد مهم استفاده از مثلثات کروي, مبحث تعيين قبله است. چنانچه مي دانيد در بسياري از احکام شرعي, رعايت جهت قبله لازم است. از آنجا که خداوند کريم از رو به قبله کردن اينگونه تعبير نموده که: "فول وجهک شطر المسجد الحرام" , با فرض کروي بودن کره زمين , متفاهم عرفي از روکردن به مکاني بر روي کره , انتخاب کمترين فاصله تا آن مکان است. با توجه به اصلي که در مثلثات کروي براي تعيين نزديکترين فاصله روي کره ذکر کرديم, براي تعيين قبله هر نقطه از کره زمين بايد دايره عظيمه اي که از آن نقطه و مسجد الحرام مي گذرد, بيابيم و با تعيين زاويه انحراف دايره عظيمه از نصف النهار شهر مورد نظر, زاويه انحراف قبله آن مکان را نسبت به شمال و جنوب جغرافيايي پيدا کنيم. با استفاده از اين روش جهت قبله صحيح هر نقطه به دست مي آيد. جهت قبله بدست آمده ممکن است با ارتکازات ابتدايي ما همخوان نباشد. مثلا جهت قبله در آمريکا و کانادا به سمت شمال شرقي محاسبه مي شود, در صورتيکه در نقشه مسطح, جهت جنوب شرقي صحيح مي نمايد. با کمي تامل و با در نظر گرفتن کروي بودن کره زمين, مي توانيم به صحت اعتبار جهت شمال شرقي در قبله آمريکا و کانادا پي ببريم.
    فرض کنيد مي خواهيم جهت قبله نقطه اي مانند قم با عرض جعرافيايي 34 درجه و 39 دقيقه و طول جغرافيايي 50 درجه و 54 دقيقه را بيابيم. عرض جغرافيايي مسجد الحرام را معادل 21 درجه و 27 دقيقه و طول جغرافيايي آن را برابر 39 درجه و 49 دقيقه در نظر مي گيريم. با استفاده از رابطه دومي که در مثلثات کروي ارايه داديم, خواهيم داشت:

       


    tan (A+B)/2 = cos (a-b)/2 cot C/2

    cos (a+b)/2


    tan (A-B)/2 =  sin (a-b)/2 cot C/2

    sin (a+b)/2


    با حل اين دستگاه دو معادله دو مجهول مي توانيم زاويه B که همان انحراف جهت قبله از شمال است را بدست آوريم. بدين ترتيب که :

    a = 35/55 = فاصله زاويه اي قم از قطب
    b = فاصله زاويه اي مکه از قطب = 55/68
    C = 1/11= اختلاف طول جغرافيايي دو نقطه

     
    tan (A-B)/2 =  -sin (35/55 - 55/68) / 2 cot 55/5 = - 34/1

    sin (35/55 + 55/68) / 2


    tan (A+B)/2 = cos (35/55 - 55/68) / 2 cot 55/5 = 73/21

    cos (35/55 + 55/68) / 2

    زاويه B برابر 7/140 محاسبه مي شود بنا بر اين قبله قم 2/39 درجه از جنوب به سمت غرب محاسبه مي شود.

  • لینک
    سه‌شنبه ۱٠ مهر ۱۳۸٦ - ویدا وحیدنیا